\subsubsection{Übung (v) - \buchmann{16.3.1}}

\paragraph{Aufgabe:}
Rekonstruktion des Geheimnisses in Beispiel 16.2.2 ($s = 3$) aus den letzten drei Geheimnisanteilen. Es gilt:
\begin{center}
\begin{itemize}
\item $p=17$
\item Die Geheimnisanteile $y_{i}$ sind: $y_3=10$, $y_4=10$ und $y_5=6$ 
\end{itemize}
\end{center}

\paragraph{Lösung:} Berechnung der Produkte $L_{i}(X) = \prod_{j \ne i}^t \frac{x_j}{x_j - x_i}$ für $3 \leq i \leq 5$. 
\begin{center}
\[
L_{3}(0) = \frac{x_{4}}{x_{4} - x_{3}} * \frac{x_{5}}{x_{5} - x_{3}} = \frac{4}{4 - 3} * \frac{5}{5 - 3} = \frac{4 * 5}{1 * 2} = \frac{20}{2} = 10
\]

\[
L_{4}(0) = \frac{x_{3}}{x_{3} - x_{4}} * \frac{x_{5}}{x_{5} - x_{4}} = \frac{3}{3 - 4} * \frac{5}{5 - 4} = \frac{3 * 5}{ (-1) * 1} = \frac{15}{-1} = -15 
\]

\[
L_{5}(0) = \frac{x_{3}}{x_{3} - x_{5}} * \frac{x_{4}}{x_{4} - x_{5}} = \frac{3}{3 - 5} * \frac{4}{4 - 5} = \frac{3 * 4}{(-2) * (-1)} = \frac{12}{2} = 6
\]
\end{center}
Mit $y_{3} = 10$, $y_{4} = 10$ und $y_{5} = 6$ folgt:
\begin{center}
\[
a(0) = (\frac{20}{2} * 10 + \frac{15}{-1} * 10 + \frac{12}{2} * 6)\mod 17
\]

\[
a(0) = (10 * 10 - 15 * 10 + 6 * 6)\mod 17
\]

\[
a(0) = (-14)\mod 17
\]

\[
a(0) = 3\mod 17
\]

\end{center}